Физически информированная нейронная сеть для решения уравнения конвективной диффузии в природных дисперсных средах

Рассмотрено применение физически информированных нейронных сетей для моделирования процессов миграции загрязняющих веществ в природных дисперсных средах. В качестве базовой математической модели использовалось одномерное уравнение конвективной диффузии, описывающее перенос вещества под действием адвективных и диффузионных механизмов. Предложена архитектура нейронной сети на основе многослойного персептрона, позволяющая аппроксимировать решение в непрерывной пространственно-временной области без необходимости построения расчетной сетки. Обучение модели осуществлялось путем минимизации функции потерь, включающей невязку дифференциального уравнения, а также отклонения от начальных и граничных условий. Для обучения использовались коллокационные точки, генерируемые внутри расчетной области. Проведенные вычислительные эксперименты показали, что разработанная модель корректно воспроизводит основные физические закономерности процесса переноса, включая смещение максимума концентрации вследствие адвекции и его сглаживание за счет диффузии. Показано, что применение физически информированных нейронных сетей обеспечивает получение гладкого, устойчивого и физически согласованного решения даже при ограниченном объеме исходной информации. Отмечены преимущества метода, связанные с отсутствием необходимости в обучающих данных и возможностью работы в областях сложной геометрии.

1. Кундас, С. П. Разработка нейронных сетей для прогнозирования миграции химических веществ в почве и алгоритмов их обучения / С. П. Кундас, В. И. Коваленко, О. С. Хилько // Вестник БНТУ. 2010. № 2. С. 32–38.

2. Компьютерное моделирование миграции загрязняющих веществ в природных дисперсных средах / С. П. Кундас [и др.]. Минск: Междунар. гос. экологич. ин-т им. А. Д. Сахарова, 2011.

3. Шалькевич, П. К. Компьютерное прогнозирование пространственного распределения концентрации Cs-137 в почве / П. К. Шалькевич // Доклады Национальной академии наук Беларуси. 2021. Т. 65, № 2. С. 139–145. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2021-65-2-139-145.

4. Raissi, М. Physics-Informed Neural Networks: A Deep Learning Framework for Solving Forward and Inverse Problems Involving Nonlinear Partial Differential Equations / M. Raissi, P. Perdikaris, G. E. Karniadakis // Journal of Computational Physics. 2019. Vol. 378. P. 686–707.

5. Physics-Informed Neural Networks for PDE Problems: A Comprehensive Review / K. Luo [et al.] // Artificial Intelligence Review. 2025. Vol. 58. Article 323. http://dx.doi.org/10.1007/s10462-025-11322-7.

6. Pre-Trained Physics-Informed Neural Networks for Analysis of Contaminant Transport in Soils / Z.-W. Ke [et al.] // Computers and Geotechnics. 2025. Vol. 180, No 11. http://dx.doi.org/10.1016/j.compgeo.2025.107055.

7. Berardi, М. Inverse Physics-Informed Neural Networks for Transport Models in Porous Materials / M. Berardi, F. V. Difonzo, M. Icardi // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2025. Vol. 435. Article 117628. http://dx.doi.org/10.1016/j.cma.2024.117628.

8. Yin, R. Prediction of Soil Pollution Spatial Distribution Using Physics-Informed Neural Network Based on Spatial Probability Distribution of Pollutants / R. Yin, L. Wang, T. Hu // SSRN Electronic Journal. 2024. https://doi.org/10.2139/ssrn.4918378.

9. Урвачев, П. М. Передовые методы оптимизации работы с нейросетями на современных архитектурах / П. М. Урвачев, В. А. Ковтун // Современные инновации, системы и технологии. 2024. Т. 4, № 4. С. 199–212. https://doi.org/10.47813/2782-2818-2024-4-4-0199-0212.