Автоморфизмы и орбиты ошибок кодов Рида – Соломона

Цель работы, результаты которой представлены в рамках статьи, заключалась в развитии и переносе на класс кодов Рида – Соломона (РС-кодов) базовых положений теории норм синдромов (ТНС), разработанных ранее для активно применяемого в теории и практике помехоустойчивого кодирования класса кодов Боуза – Чоудхури – Хоквингема (БЧХ-кодов). Для достижения поставленной цели осуществлен переход в изложении теории РС-кодов с полиномиального языка на матричный. Такой подход позволяет в полной мере использовать возможности теории полей Галуа. Главная сложность РС-кодов в том, что они опираются на недвоичный алфавит. Этот же фактор является привлекательным для практических применений РС-кодов. Матричный язык позволяет разбивать синдромы ошибок на компоненты, являющиеся элементами поля Галуа – поля определения РС-кодов. ТНС для БЧХ-кодов опирается на применение автоморфизмов этих кодов – циклических и циклотомических подстановок. В работе подробно изучены автоморфизмы РС-кодов. Циклическая подстановка относится к разрядам автоморфизмов РС-кодов и порождает подгруппу Г порядка N (длина кода). Циклотомическая подстановка не принадлежит классу автоморфизмов РС-кодов – мощность алфавита, большая 2, препятствует этому. При расширении понятия автоморфизма кода за рамки перестановок координат векторов к автоморфизмам РС-кодов можно отнести и гомотетии, или аффинные подстановки, поскольку они также образуют циклическую группу А порядка N. Показано, что циклическая и аффинная подстановки коммутируют друг с другом, что, вообще говоря, не типично для линейных операторов и подстановок. Группа Г циклических подстановок, группа А аффинных подстановок и объединенная АГ группа порядка N² порождают 3 вида орбит ошибок в РС-кодах. Изучено строение орбит ошибок относительно действия групп А, Г и объединенной группы АГ {231 слово}.

1. MacWilliams F.J., Sloan J.J. The Theory of Error-Correcting Codes. Amsterdam: North-holland publishing company; 1977.

2. Липницкий В.А., Конопелько В.К. Норменное декодирование помехоустойчивых кодов и алгебраические уравнения. Минск: БГУ; 2007.

3. Кудряшов Б.Д. Основы теории кодирования. Санкт-Петербург: БХВ-Петербург; 2016.

4. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. Изд. 2. Москва: Вильямс; 2003.

5. Блэйхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки. Москва: Мир; 1986.

6. Moon Т.К. Error correction coding, mathematical methods and algorithms. New Jersey U.S.A: John Wiley & Sons; 2005.

7. Липницкий В.А., Семёнов С.И. Преимущества применения теории полей Галуа для обработки РС-кодов. Сборник научных статей Военной академии Республики Беларусь. 2019;36:84-93.

8. Липницкий В.А. Высшая математика. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии. Минск: ВА РБ; 2015.

9. Лидл Р., Ниддеррайтер Г. Конечные поля. Москва: Мир; 1988.

10. Липницкий В.А. Современная прикладная алгебра. Математические основы защиты информации от помех и несанкционированного доступа. Минск: БГУИР; 2006.